Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 kode 101 no 11

Monday 12 June 2017

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 kode 101 no 11 - 15

19:45 Bambang Hariyanto 1 comment

Lanjutan dari bagian sebelumnya

―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
11. Limit Trigonometri (C)
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
Soal
$\small \lim_{x\to inf}csc\frac{1}{x}-cot\frac{1}{x}=....$
A. - ∞
B. - 1
C. 0
D. 1
E. ∞

Jawab

$\\=\lim_{x\to inf}csc\frac{1}{x}-cot\frac{1}{x} \\ \\=\lim_{y\to 0}csc\: y-cot\: y \\ \\=\lim_{y\to 0}\frac{1}{sin\: y}-\frac{cos\: y}{sin\: y} \\ \\=\lim_{y\to 0}\frac{1-cos\: y}{sin\: y},{\color{Red} cosy=1-2sin^{2}\frac{1}{2}y} \\ \\=\lim_{y\to 0}\frac{2sin^{2}\frac{1}{2}\: y}{sin\: y} \\ \\=\lim_{y\to 0}\frac{2sin\frac{1}{2}\: y}{sin\: y}\lim_{y\to 0}\frac{sin\frac{1}{2}\: y}{1} \\ \\=2.\frac{1}{2}.sin0 \\ \\=0$

―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
12. Fungsi Rasional (E)
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
Soal

Diberikan dua fungsi rasional
$y=\frac{3x^{2}-3x+7}{x^{2}-5x+4}$ .
dan
$y=\frac{ax^{2}-3x+2}{bx^{2}+2x-3},a>0.$ .
Jika diketahui kedua kurva mempunyai sebuah asimtot tegak yang sama dan asimtot datar keduanya berjarak 4 satuan, maka a =
A. 2
B. 3
C. 5
D. 6
E. 7

Jawab

Lankah pertama kita mencari dulu asimtot tegak masing-masing
$\\\lim_{y\to inf}\frac{3x^{2}-3x+7}{x^{2}-5x+4}=inf \\ \\x^{2}-5x+4=0 \\ \\(x-4)(x-1)=0 \\ \\x=4 \: atau\: x=1\: {\color{Red} (asimtot \: tegak \: fungsi\: pertama}) \\ \\\lim_{y\to inf}\frac{ax^{2}-3x+2}{bx^{2}+2x-3}=inf \\ \\bx^{2}+2x-3=0\: {\color{Red} (asimtot \: tegak \: fungsi\: kedua}) \\$

Asimtot tegak fungsi pertama = asimtot tegak fungsi kedua

$substitusi \: x= 4 \: atau\: x = 1 \: ke \: bx^{2}+2x-3=0$

x = 4 → 16b + 8 - 3 = 0
16b = - 5
b = - 5/3

x = 1 → b + 2 - 3 = 0
b = 1

Langkah kedua kita mencari asimtot datar keduanya

Asimtot datar yang pertama adalah
$y=\lim_{x\to inf}\frac{3x^{2}-3x+7}{x^{2}+2x-3}=3$
Asimtot datar yang kedua adalah
$y=\lim_{x\to inf}\frac{ax^{2}-3x+2}{bx^{2}+2x-3}=\frac{a}{b}$
Asimtot datar keduanya berjarak 4 satuan

$\\\frac{a}{b}-3=4 \\ \\\frac{a}{1}-3=4 \\ \\a=7 \\$

―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
13. Turunan Trigonometri (B)
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
Soal

Misalkan
$f(x)=sin(cos^{2}x),\textup{maka}\: f\: '\: (x)=....$

$\\A.-2sinx.cos(cos^{2}x) \\ \\B.-2sin2x.cos(cos^{2}x) \\ \\C.-sinx.cos(cos^{2}x) \\ \\D.-sin2x.cos(cos^{2}x) \\ \\E.-sin^{2}x.cos(cos^{2}x) \\$

Jawab

$\\f(x)= sin(cos^{2}x) \\ \\f \: '\: (x)= cos(cos^{2}x).2cosx.(-sinx) \\ \\f \: '\: (x)= cos(cos^{2}x).-2sin2x \\$

―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
14. Turunan (C)
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
Soal

Jika garis singgung dari kurva $y=x^{3}+a\sqrt{x}$ di titik (1, b) adalah y = ax - c, maka a + b + c = ....
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
E. 14

Jawab

Pertama kita mencari gradien kedua kurva. Kurva pertama gradienya adalah turunan sedangkan kurva kedua adalah a kemudian di samakan sehingga diperoleh a
$\\m=3x^{2}+\frac{a}{2\sqrt{x}} \\ \\a=3.1^{2}+\frac{a}{2\sqrt{1}} \\ \\a =3+\frac{a}{2} \\ \\a=6$

Selanjutnya mencari b. Substitusikan titik (1, b) ke y = ax - c dengan mengganti a = 6
(1, b) → y = ax - c
b = 6.1 - c
b + c = 6

a + b + c = 6 + 6 = 12

―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
15. Peluang (E)
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
Soal

Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih
dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil adalah 1 bola merah adalah . . . .
A. 0, 04
B. 0, 10
C. 0, 16
D. 0, 32

E. 0, 40

Jawab

Ada dua kemungkinan kejadian terambil 1 bola merah yaitu

1) dari kotak I terambil satu merah satu putih dan dari kotak II terambil keduanya putih
2) dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah satu putih

Kemungkinan pertama
dari kotak I terambil satu merah satu putih, peluangnya adalah
$2.\frac{3}{15}.\frac{12}{15}=\frac{8}{25}$
(perkalian dengan 2 karena urutan bisa putih dulu kemudian merah atau merah dulu baru putih)
dari kotak II terambil keduanya putih, peluangnya adalah
$\frac{4}{8}.\frac{4}{8}=\frac{1}{4}$
sehingga peluang terjadinya kemungkinan pertama adalah
$\frac{8}{25}.\frac{1}{4}=\frac{2}{25}$

Kemungkinan kedua
dari kotak I terambil keduanya putih, peluangnya adalah
$\frac{12}{15}.\frac{12}{15}=\frac{16}{25}$
dari kotak II terambil satu merah satu putih, peluangnya adalah
$2.\frac{4}{8}.\frac{4}{8}=\frac{2}{4}$
sehingga peluang terjadinya kemungkinan kedua adalah
$\frac{16}{25}.\frac{2}{4}=\frac{8}{25}$